Викия

База Знаний AWMD Group Wiki

Проверка статистических гипотез (лекции)

67статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.


Гипотезы и их видыПравить

Одной из важнейших задач мат статистики является установление теоретического закона распределения случайно величины, определение неизвестных параметров и тд. Предположение о виде закона распределения или о величине неизвестных параметров называется статистическими гипотезами.

Примеры статистических гипотезПравить

  • Генеральная совокупность - распределение по закону Пуассона
  • Дисперсия двух нормальных совокупностей, равных между собой


Наряду с выдвинутой гипотезой рассматриваются и противоречащие ей гипотезы. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине их целесообразно различать.

  • Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H_{0}
  • Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H_{1}, которая противоречит нулевой.

ПримерПравить

Пример
Если H_{0} основная гипотеза, состоящая в том что мат ожидание нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза H_{1} может быть A\ne 10 , A> 10, A > 10

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение ( для показательного закона \lambda = 5)

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез ( для закона распределения \lambda > 5)

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия ПирсонаПравить

Если закон распределения неизвестен, то есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (исходя из теоретических предпосылок, опыта из предшествующих исследований и тд), то проверяют нулевую гипотезу H_0, состоящую в том, что генеральные совокупности распределяются по такому же закону. Проверка начальной гипотезы о предполагаемом законе осуществляется на основе критерия согласия. Имеется несколько критериев согласия:

  • критерий Смирнова
  • критерий Колмогорова
  • критерий \chi^2-Пирсона
  • другие


Ограничимся описанием критерия Пирсона, поскольку он применяется для проверки гипотезы о принадлежности генеральной совокупности не только нормальному закону распределения, но и любому другому.

Схема применения критерияПравить

  1. Выдвижение начальной гипотезы H_0, состоящей в том, что случайная величина X распределена по нормальному закону распределения
  2. Необходимо сравнить эмпирические (найденные экспериментальным путем) и теоретические (найденные исходя из закона распределения) частот. Однако как бы точно не был подобран закон распределения между теоретическими и эмпирическими частотами неизбежны расхождения возникает вопрос, объяснимы ли эти расхождения только случайными факторами, связанные с ограниченным числом наблюдений, или это связано с неправильным выбором теоретического закона распределения. Критерий Пирсона позволяет ответить на этот вопрос, однако как и любой другой критерий, он не доказывает справедливости гипотез, а лишь устанавливает ее согласие или несогласие с экспериментальными данными на принятом уровне значимости. В качестве проверки нулевой гипотезы применяется случайная величина \chi^2, которая вычисляется по формуле \chi^2=\sum\frac{(n_i-n^{'}_i)^2}{n^{'}_{i}} где n_i - эмпирические частоты, n^{'}_i - теоретические частоты
  3. По таблице \chi^2-Пирсона находят критические значения \chi^2, которое зависит от двух параметров \alpha и k, где \alpha - заданный уровень значимости (обычно 0,05 0,01 0,1) (то есть с вероятностью 0,95 0,99 0,9 можно гарантировать принятие или опровержение гипотезы) k - число степеней свободы. Оно находится по формуле k=m-r-1, где m - число групп (интервалов в вариационном ряду), r - число параметров распределения (для нормального распределения r=2, для показательного распределения r=1, для равномерного r=2)
  4. Необходимо сравнить \chi^2 критическое и \chi^2 наблюдаемое. Если \chi^2 критическое больше \chi^2 наблюдаемого, то гипотеза принимается, если \chi^2 критическое меньше \chi^2 наблюдаемого, то гипотеза опровергается
  5. Сделать вывод из пункта 1

ЗамечаниеПравить

Замечание
При вычислении \chi^2 наблюдаемого должно выполняться равенство \chi_n=\sum \frac{n_i^2}{n_i^{'}}-n

ПримерПравить

На уровне значимости 0,01 проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты

N_I 6 13 38 74 106 85 30 14
n'_i 3 14 42 82 99 76 37 13


1) H_0 - гипотеза, состоящая в том что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

2) \chi^2 =\sum\frac{(n_i-n'_i)^2}{n'_i}

Для вычисления \chi^2 построим расчетную таблицу

n_i n'_i (n_i - n'_i)^2 \frac{(n_i - n'_i)^2}{n'_i}
6 3 9 3
13 14 1 0.07
30 42 144 0.38
74 82 64 0.78
106 99 49 0.49
85 76 81 1.07
30 37 49 1.32
14 13 1 0.08

\sum\frac{(n_i-n_i^{'})^2}{n_i^{'}}=7.19

\chi^2_{tabl}=7.19


3) \chi^2_{krit}(\lambda; k)

\lambda=0.05

k=8-2-1=5

\chi^2_{krit}(0.05;5)=11.1


4) Сравним \chi^2_{krit} и \chi^2_{tabl}. \chi^2_{krit}>\chi^2_{tabl} , следовательно гипотеза применима

5) Генеральная совокупность распределена по нормальному закону

Викия-сеть

Случайная вики