ФЭНДОМ



Гипотезы и их видыПравить

Одной из важнейших задач мат статистики является установление теоретического закона распределения случайно величины, определение неизвестных параметров и тд. Предположение о виде закона распределения или о величине неизвестных параметров называется статистическими гипотезами.

Примеры статистических гипотезПравить

  • Генеральная совокупность - распределение по закону Пуассона
  • Дисперсия двух нормальных совокупностей, равных между собой


Наряду с выдвинутой гипотезой рассматриваются и противоречащие ей гипотезы. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине их целесообразно различать.

  • Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу $ H_{0} $
  • Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу $ H_{1} $, которая противоречит нулевой.

ПримерПравить

Пример
Если $ H_{0} $ основная гипотеза, состоящая в том что мат ожидание нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза $ H_{1} $ может быть $ A\ne 10 $ , $ A> 10 $, $ A > 10 $

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение ( для показательного закона $ \lambda = 5 $)

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез ( для закона распределения $ \lambda > 5 $)

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия ПирсонаПравить

Если закон распределения неизвестен, то есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (исходя из теоретических предпосылок, опыта из предшествующих исследований и тд), то проверяют нулевую гипотезу $ H_0 $, состоящую в том, что генеральные совокупности распределяются по такому же закону. Проверка начальной гипотезы о предполагаемом законе осуществляется на основе критерия согласия. Имеется несколько критериев согласия:

  • критерий Смирнова
  • критерий Колмогорова
  • критерий $ \chi^2 $-Пирсона
  • другие


Ограничимся описанием критерия Пирсона, поскольку он применяется для проверки гипотезы о принадлежности генеральной совокупности не только нормальному закону распределения, но и любому другому.

Схема применения критерияПравить

  1. Выдвижение начальной гипотезы $ H_0 $, состоящей в том, что случайная величина X распределена по нормальному закону распределения
  2. Необходимо сравнить эмпирические (найденные экспериментальным путем) и теоретические (найденные исходя из закона распределения) частот. Однако как бы точно не был подобран закон распределения между теоретическими и эмпирическими частотами неизбежны расхождения возникает вопрос, объяснимы ли эти расхождения только случайными факторами, связанные с ограниченным числом наблюдений, или это связано с неправильным выбором теоретического закона распределения. Критерий Пирсона позволяет ответить на этот вопрос, однако как и любой другой критерий, он не доказывает справедливости гипотез, а лишь устанавливает ее согласие или несогласие с экспериментальными данными на принятом уровне значимости. В качестве проверки нулевой гипотезы применяется случайная величина $ \chi^2 $, которая вычисляется по формуле $ \chi^2=\sum\frac{(n_i-n^{'}_i)^2}{n^{'}_{i}} $ где $ n_i $ - эмпирические частоты, $ n^{'}_i $ - теоретические частоты
  3. По таблице $ \chi^2 $-Пирсона находят критические значения $ \chi^2 $, которое зависит от двух параметров $ \alpha $ и $ k $, где $ \alpha $ - заданный уровень значимости (обычно 0,05 0,01 0,1) (то есть с вероятностью 0,95 0,99 0,9 можно гарантировать принятие или опровержение гипотезы) $ k $ - число степеней свободы. Оно находится по формуле $ k=m-r-1 $, где $ m $ - число групп (интервалов в вариационном ряду), $ r $ - число параметров распределения (для нормального распределения $ r=2 $, для показательного распределения $ r=1 $, для равномерного $ r=2 $)
  4. Необходимо сравнить $ \chi^2 $ критическое и $ \chi^2 $ наблюдаемое. Если $ \chi^2 $ критическое больше $ \chi^2 $ наблюдаемого, то гипотеза принимается, если $ \chi^2 $ критическое меньше $ \chi^2 $ наблюдаемого, то гипотеза опровергается
  5. Сделать вывод из пункта 1

ЗамечаниеПравить

Замечание
При вычислении $ \chi^2 $ наблюдаемого должно выполняться равенство $ \chi_n=\sum \frac{n_i^2}{n_i^{'}}-n $

ПримерПравить

На уровне значимости 0,01 проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты

$ N_I $ 6 13 38 74 106 85 30 14
$ n'_i $ 3 14 42 82 99 76 37 13


1) $ H_0 $ - гипотеза, состоящая в том что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

2) $ \chi^2 =\sum\frac{(n_i-n'_i)^2}{n'_i} $

Для вычисления $ \chi^2 $ построим расчетную таблицу

$ n_i $ $ n'_i $ $ (n_i - n'_i)^2 $ $ \frac{(n_i - n'_i)^2}{n'_i} $
6 3 9 3
13 14 1 0.07
30 42 144 0.38
74 82 64 0.78
106 99 49 0.49
85 76 81 1.07
30 37 49 1.32
14 13 1 0.08

$ \sum\frac{(n_i-n_i^{'})^2}{n_i^{'}}=7.19 $

$ \chi^2_{tabl}=7.19 $


3) $ \chi^2_{krit}(\lambda; k) $

$ \lambda=0.05 $

$ k=8-2-1=5 $

$ \chi^2_{krit}(0.05;5)=11.1 $


4) Сравним $ \chi^2_{krit} $ и $ \chi^2_{tabl} $. $ \chi^2_{krit}>\chi^2_{tabl} $ , следовательно гипотеза применима

5) Генеральная совокупность распределена по нормальному закону