Wikia

База Знаний AWMD Group Wiki

Проверка статистических гипотез (лекции)

Обсуждение0
67статей на этой вики


Гипотезы и их видыПравить

Одной из важнейших задач мат статистики является установление теоретического закона распределения случайно величины, определение неизвестных параметров и тд. Предположение о виде закона распределения или о величине неизвестных параметров называется статистическими гипотезами.

Примеры статистических гипотезПравить

  • Генеральная совокупность - распределение по закону Пуассона
  • Дисперсия двух нормальных совокупностей, равных между собой


Наряду с выдвинутой гипотезой рассматриваются и противоречащие ей гипотезы. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине их целесообразно различать.

  • Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H_{0}
  • Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H_{1}, которая противоречит нулевой.

ПримерПравить

Пример
Если H_{0} основная гипотеза, состоящая в том что мат ожидание нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза H_{1} может быть A\ne 10 , A> 10, A > 10

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение ( для показательного закона \lambda = 5)

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез ( для закона распределения \lambda > 5)

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия ПирсонаПравить

Если закон распределения неизвестен, то есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (исходя из теоретических предпосылок, опыта из предшествующих исследований и тд), то проверяют нулевую гипотезу H_0, состоящую в том, что генеральные совокупности распределяются по такому же закону. Проверка начальной гипотезы о предполагаемом законе осуществляется на основе критерия согласия. Имеется несколько критериев согласия:

  • критерий Смирнова
  • критерий Колмогорова
  • критерий \chi^2-Пирсона
  • другие


Ограничимся описанием критерия Пирсона, поскольку он применяется для проверки гипотезы о принадлежности генеральной совокупности не только нормальному закону распределения, но и любому другому.

Схема применения критерияПравить

  1. Выдвижение начальной гипотезы H_0, состоящей в том, что случайная величина X распределена по нормальному закону распределения
  2. Необходимо сравнить эмпирические (найденные экспериментальным путем) и теоретические (найденные исходя из закона распределения) частот. Однако как бы точно не был подобран закон распределения между теоретическими и эмпирическими частотами неизбежны расхождения возникает вопрос, объяснимы ли эти расхождения только случайными факторами, связанные с ограниченным числом наблюдений, или это связано с неправильным выбором теоретического закона распределения. Критерий Пирсона позволяет ответить на этот вопрос, однако как и любой другой критерий, он не доказывает справедливости гипотез, а лишь устанавливает ее согласие или несогласие с экспериментальными данными на принятом уровне значимости. В качестве проверки нулевой гипотезы применяется случайная величина \chi^2, которая вычисляется по формуле \chi^2=\sum\frac{(n_i-n^{'}_i)^2}{n^{'}_{i}} где n_i - эмпирические частоты, n^{'}_i - теоретические частоты
  3. По таблице \chi^2-Пирсона находят критические значения \chi^2, которое зависит от двух параметров \alpha и k, где \alpha - заданный уровень значимости (обычно 0,05 0,01 0,1) (то есть с вероятностью 0,95 0,99 0,9 можно гарантировать принятие или опровержение гипотезы) k - число степеней свободы. Оно находится по формуле k=m-r-1, где m - число групп (интервалов в вариационном ряду), r - число параметров распределения (для нормального распределения r=2, для показательного распределения r=1, для равномерного r=2)
  4. Необходимо сравнить \chi^2 критическое и \chi^2 наблюдаемое. Если \chi^2 критическое больше \chi^2 наблюдаемого, то гипотеза принимается, если \chi^2 критическое меньше \chi^2 наблюдаемого, то гипотеза опровергается
  5. Сделать вывод из пункта 1

ЗамечаниеПравить

Замечание
При вычислении \chi^2 наблюдаемого должно выполняться равенство \chi_n=\sum \frac{n_i^2}{n_i^{'}}-n

ПримерПравить

На уровне значимости \alpha=0.05 проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты

N_I 6 13 38 74 106 85 30 14
n'_i 3 14 42 82 99 76 37 13


1) H_0 - гипотеза, состоящая в том что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

2) \chi^2 =\sum\frac{(n_i-n'_i)^2}{n'_i}

Для вычисления \chi^2 построим расчетную таблицу

n_i n'_i (n_i - n'_i)^2 \frac{(n_i - n'_i)^2}{n'_i}
6 3 9 3
13 14 1 0.07
30 42 144 0.38
74 82 64 0.78
106 99 49 0.49
85 76 81 1.07
30 37 49 1.32
14 13 1 0.08

\sum\frac{(n_i-n_i^{'})^2}{n_i^{'}}=7.19

\chi^2_{tabl}=7.19


3) \chi^2_{krit}(\lambda; k)

\lambda=0.05

k=8-2-1=5

\chi^2_{krit}(0.05;5)=11.1


4) Сравним \chi^2_{krit} и \chi^2_{tabl}. \chi^2_{krit}>\chi^2_{tabl} , следовательно гипотеза применима

5) Генеральная совокупность распределена по нормальному закону

Викия-сеть

Случайная вики